教师:邱东江
TA:杨浩宇
内容:力学、运动学、相对论、静电场、刚体力学、热力学、气体动理论……

这个笔记纯属期末补天所用,基本上在一个星期里写成,只包括下半学期的内容。

静电场

库仑定律

F=kq1q2r2,k=14πε0F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} ,k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}

电荷可以表示为体密度、面密度、线密度

电场强度 放在该点的单位点电荷所受的力

E=Fq0=14πε0qr2r\vec E=\frac{\vec F}{q_{0}}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{r^{2}}\vec r

电偶极子 两个等值异号的电荷所组成的系统
电偶极矩 p=ql\vec p=q\cdot \vec l 方向从负电荷指向正电荷 实际计算时 l 相比于 r 可以忽略

几个电场强度有关的结论

  • 无限长均匀带电细棒外一点的场强

    Ey=λ2πε0r,Ex=0E_{y} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r},E_{x}=0

  • 半无限长的均匀带电细棒 在端点处垂直于细棒位置的场强

    Ey=λ4πε0r,Ex=λ4πε0rE_{y} = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 r},E_{x}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 r}

  • 半圆弧对于圆心处

    E=λ2πε0RE = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R}

    电通量(是标量 但是可正可负 对于闭合曲面 外法线矢量为正)

    Φ=EdS\Phi = \int \vec{E} \cdot \vec{dS}

    高斯定理:通过任何一个闭合曲面S的电通量等于它之内的所有电荷代数和除以ε0\varepsilon_0,与闭合曲面外的电荷无关

    Φ=EdA=Qencε0\Phi = \oint \vec{E} \cdot \vec{dA} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}

e.g. 均匀带电球壳/球体的电通量

  • 选择高斯面
  • ES=Qencε0E\cdot S=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} 解出E

对于均匀带电球壳,电场强度随距离球心距离 ( r ) 的公式为:

(r<R)(即在球壳内部此时高斯面内无电荷): E=0当 ( r < R ) (即在球壳内部 此时高斯面内无电荷): E = 0

(r>R)(即在球壳外部): E=14πε0Qr2当 ( r > R ) (即在球壳外部): E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}

对于均匀带电球体,电场强度随距离球心距离 ( r ) 的公式为:

(r<R)(即在球壳内部): E=14πε0QrR3当 ( r < R ) (即在球壳内部): E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qr}{R^3}

(r>R)(即在球壳外部): E=14πε0Qr2当 ( r > R ) (即在球壳外部): E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}

e.g. 无限长带电直线/平面

直线

 EdA=E2πrl=Qencε0,Qenc=λl \oint \vec{E} \cdot \vec{dA} = E \cdot 2\pi rl = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0},Q_{\text{enc}}=\lambda\cdot l

E=λ2πε0rE = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}

平面

EdA=E2S=Qencε0,Qenc=σS\oint \vec{E} \cdot \vec{dA} = E \cdot 2S = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0},Q_{\text{enc}}=\sigma \cdot S

E=σ2ε0E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}

刚体力学

  • 求转动惯量
    均匀对称且相对于垂直通过质心的转轴的转动惯量 直接用公式I=r2dm\vec{I}=\int r^2dm

    平行轴原理:相对于质心转轴平行的任意轴(距离 d)的转动惯量 I=Ic+md2I=I_c+md^2

    合力矩等于转动惯量乘上角加速度

    可以叠加 所以看作两大部分或者三大部分的叠加和相减

    五个常见的转动惯量:

    • 细棒中心与棒垂直:112ml2\frac{1}{12}ml^2
    • 通过端点与棒垂直:13ml2\frac{1}{3}ml^2
    • 细圆环通过圆心与环面垂直:mR2mR^2 (与质量分布是否均与无关:最后要积分一圈)
    • 圆柱体的对称轴或者薄圆盘的中心:12mR2\frac{1}{2}mR^2

    轴外可看作质点的一点转动惯量:运用x2dm\int x^2dm 就等于mx2mx^2

相对论

洛伦兹时空变换
五个量互相推导
洛伦兹变换
x=γ(xvt)x' = \gamma(x - vt) γ=11β2\gamma= \frac{1}{\sqrt{1-\beta}{^{2}}} t=γ(tvc2x)t'= \gamma(t-\frac{v}{c^{2}}x)
x=γ(x+vt)x = \gamma(x' + vt') γ=11β2\gamma= \frac{1}{\sqrt{1-\beta}{^{2}}} t=γ(t+vc2x)t= \gamma(t'+\frac{v}{c^{2}}x')
β=vc\beta= \frac{v}{c}

速度变换
按照公式推导 两个东西按照某种速度相对于同一个参照系运动的时候 可以用速度变换算出一个眼中另一个的速度 并且按照相对论进行正常推导
v=vu1uvc2v' = \frac{v - u}{1 - \frac{uv}{c^2}} uu为牵连速度 逆变换为把 - 全换成 +

相对论粒子的动量 能量
质量靠不住(随着速度变化)
m=m01(vc)2m= \frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^{2}}}

机械振动

  • 求某点的振动图像以及某个曲线的图像
    对于某点来说 一定要看图说话(该点的速度方向和目前所处的振动位置决定了该点的振动方程)解出方程 对于某个曲线 要设 x 位置 注意该位置与原点位置落后多少个相位(与 x 和波速有关)然后在原点的方程上补充该相位即可
  • 振动系统的能量
    与正常的动能和机械能的求法一致 势能一般用于弹簧12kΔx2\frac{1}{2}k{\Delta x}^{2}
  • 固有角频率 周期
    关键式子a=xω2a=-x\omega ^{2} 或者 α=θω2\alpha = -\theta \omega ^{2} 然后即可从角频率解出固有的周期
  • 解出简谐振动的方程
    列出初状态的方程 列出 x 位置时状态的方程 代入初状态 求出结果方程
  • 同方向同频率的简谐振动合成 相互垂直的同频简谐振动合成
    同方向同频的新振幅和初相公式 相互垂直时的顺时针逆时针
  • 同方向不同频率
    2πω1ω2\frac{2\pi}{|\omega_{1}-\omega_{2}|}

简谐振动:x=Acos(ωt+ϕ)x=Acos(\omega{t}+\phi)

旋转矢量图:矢量 A 按照逆时针的方向绕着 O 点的竖直轴作匀速圆周运动 A 与 X 轴的夹角即为(ωt+ϕ)(\omega{t}+\phi)
弹簧振子:ω=km\omega = \sqrt{ \frac{k}{ m}} 运用x=Acosϕx=Acos\phi v=Asinϕv=-Asin\phi 可以解出 A=x2+v2ω2A=\sqrt{x^{2}+ \frac{v^{2}}{\omega^{2}} } tanϕ=vxωtan\phi = \frac{-v}{x\omega}

复摆:回复力矩近似为mgbθ=Iα-mgb\theta=\vec{I}\alpha b 为悬挂点到质心的距离 解微分方程可得ω=mgbI\omega=\sqrt{\frac{mgb}{I}} 所以 θ=θmcos(ωt+ϕ)\theta=\theta_{m}cos(\omega{t}+\phi) 角速度和加速度那就分别求一或两次对时间的导数 特别地:单摆摆长就等于 b 转动惯量为 ml^2 所以 ω=gl\omega=\sqrt{\frac{g}{l}} 其他复摆可以把Imb\frac{I}{mb} 设为等值摆长

简谐振动的能量:势能12kx2\frac{1}{2}kx^{2} 动能12mv2\frac{1}{2}mv^{2} x v 可以被替换成相应的简谐运动式子 简谐振动机械能守恒

求振动的固有频率:1 设原长位置为x0x_0 2 对于任意位置xx处列方程 3 解出方程F=kxF=-kx d2xdt2=ω2x\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\omega ^{2} x 即可得到此系统的固有频率与周期

简谐振动的合成
1 平行+同频率 运用旋转矢量图中把两个 A 进行矢量合成(平行四边形法则)新的振幅A=A12+A22+2A1A2cos(ϕ1ϕ2)A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}cos(\phi_{1}-\phi_{2})} 新的相位tanϕ3=A1sinϕ1+A2sinϕ2A1cosϕ1+A2cosϕ2tan\phi_{3}=\frac{A_{1}sin\phi_{1}+A_{2}sin\phi_{2}}{A_1cos\phi_1+A_{2}cos\phi_{2}}

2 垂直同频率 结果是一条线 椭圆或者圆形 分别把两个方程代表 x y x2A12+y2A222xyA1A2cos(ϕ2ϕ1)=sin2(ϕ2ϕ1)\frac{x^{2}}{A_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{A_{2}^{2}}-2\frac{xy}{A_{1}A_{2}}cos(\phi_{2}-\phi_{1})=sin^2(\phi_{2}-\phi_{1}) 重点关注·相位差 π\pi 之前顺时针 之后逆时针 +π2\frac{+-\pi}{2} 是正的椭圆(两个 A 一样是圆形)0 向右偏 π\pi向左偏直线

3 同方向不同频率 T=2πω2ω1T_{拍}=\frac{2\pi}{|\omega_{2}-\omega_{1}|}

机械波

  • 平均能量密度 能流密度
    机械波的能量和能量密度 dEk=12dmv2dE_{k}=\frac{1}{2}dm\cdot v^{2} 任何时刻波的动能和势能都相等 能量密度:单位体积的能量(随时间变化) 一个周期中平均能量密度wˉ=12ρA2ω2\bar{w}=\frac{1}{2}\rho A^{2}\omega^{2}
    能流和能流密度 单位时间通过某一面积(垂直波传播方向单位面积)的波的能量——能流(能流密度/波的强度)I=wˉu\vec{I}=\bar w\vec u I=12ρA2ω2uI=\frac{1}{2}\rho A^{2}\omega^{2}u 单位W/m2W/m^2
    牢记公式 相差一个波速 单位Wm2\frac{W}{m^{2}}
  • 振幅有关的运算(球面波)
    使用能流密度不变的特性 乘上面积
  • 波的干涉
    振幅叠加与正常简谐振动叠加一致 相位差特殊Δϕ=ϕ2ϕ12πr2r1λ\Delta \phi=\phi_{2}-\phi_{1}-2\pi\frac{r_{2}-r_{1}}{\lambda} 新的波的强度等于I1+I2+2I1I2cosΔϕI_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}cos\Delta \phi 关键是看波程差 偶数个半波长的时候干涉相长 奇数个半波长的时候干涉相消
  • 多普勒效应
    关键是看接收者移动的速率以及波源相对介质移动的速率 接收接收频率等于波速加上接收者相对波源移动的速率 除以 相对的波长 其中相对的波长又取决于波源相对介质的移动速率 所以互相靠近的结果就是波速增加了 波长变短了 所以接受的频率就增加了

波传播的过程是振动状态、波形、能量的传播过程
液体和气体中只能产生纵波,固体中可以产生横波和纵波

机械波的波速由介质的弹性和惯性决定,与波源的振动频率无关 细长棒中纵波v=Eρv=\sqrt{\frac{E}{\rho}} 柔软绳中横波v=Tρv=\sqrt{\frac{T}{\rho}}

频率 波速与波长 u=λνu=\lambda\cdot\nu 频率与波源有关 波速与介质有关

相位差 时间差与波程 Δxλ=Δϕ2π=ΔtT\frac{\Delta{x}}{\lambda}=\frac{\Delta{\phi}}{2\pi}=\frac{\Delta{t}}{T}

简谐波的波形方程(给出某点某时的振动方程->求整个简谐波的方程): 一点的振动方程为y1=Acos(ωt+ϕ)y_1=Acos(\omega t+\phi) 另一点 x 处相比原点振动相位落后ωxu\omega \frac{x}{u} 相当于一段时间之前原点的振动状态 代入以后得到任意 x 点的方程: y1=Acos(ω(txu)+ϕ)y_1=Acos(\omega(t- \frac{x}{u})+\phi) 做题关键是要判断落后或是超前多少相位 然后加到 cos 括号里最后的目标是 x 点 t 时刻(把特殊点特殊时刻变成均为任意)e.g. 已知x1x_{1} 方程 可以先还原为 O 点再变为任意 x 点

机械波的能量和能量密度 dEk=12dmv2dE_{k}=\frac{1}{2}dm\cdot v^{2} 任何时刻波的动能和势能都相等 能量密度:单位体积的能量(随时间变化) 一个周期中平均能量密度wˉ=12ρA2ω2\bar{w}=\frac{1}{2}\rho A^{2}\omega^{2}

能流和能流密度 单位时间通过某一面积(垂直波传播方向单位面积)的波的能量——能流(能流密度/波的强度)I=wˉu\vec{I}=\bar w\vec u I=12ρA2ω2uI=\frac{1}{2}\rho A^{2}\omega^{2}u 单位W/m2W/m^2

球面简谐波的表达式 关键是振幅改变 利用能量保持不变I1S1=I2S2I_{1}S_{1}=I_{2}S_{2} 同时表面积与r2r^{2}成正比 IIA2A^{2}成正比 得到振幅乘上该点半径的乘积始终保持不变 相当于直线简谐波振幅变为Ar\frac{A}{r}

波的干涉 (频率一样)新的振幅与同频同方向简谐振动叠加的振幅一样 相位差Δϕ=ϕ2ϕ12πr2r1λ(因为波程差波源位置不一样引起的相位差)\Delta{\phi}= \phi_{2}-\phi_{1}-2\pi \frac{r_{2}-r_{1}}{\lambda}(因为波程差-波源位置不一样 引起的 相位差) 强度I=I1+I2+2I1I2cosΔϕI=I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}cos\Delta{\phi}
干涉相长与干涉相消 两个波源的波程差(距离叠加点)偶数个半波长->干涉相长 奇数个半波长->干涉相消

驻波
两列振幅相同的波沿着 x 轴相向传播 无论什么时刻 x 轴上有些点始终静止不动 称为波节 其他有些点因为波的合成使其振幅最大 称为波腹 相邻波节或者波腹之间的距离为波长的一半
驻波的特征
1 没有相位的传播 而是在两个相邻波节之间各质点振动的相位相同 波节两侧质点振动的相位相反
2 没有波形 波节始终不动 各个分段作振幅不等的集体震动
3 没有能量的定向传播 只有波节和波腹之间进行动能和势能的转化

气体动理论

  • 气体的一些固有的特征和方程
    状态方程 压强公式 能量均分定理 温度公式 气体的热力学能 气体分子的平均平动动能与平均能量
  • 速率分布曲线 归一化条件
    依据曲线求三种速率 最概然观察图像 方均根速率用积分 0 到 Nv2dNv^{2}dN 再开根号 其中 dN 可以被换成Nf(v)dvNf(v)dv
  • 计算平均自由程 平均碰撞频率
    牢记公式 代入 注意平均速率可以用8/π8/\pi来算 一般就用在这里或者单独考察该公式

pV=MμRT=νRTpV=\frac{M}{\mu}RT=\nu RT 或者 p=n(单位体积内的分子数)kTp=n(单位体积内的分子数)kT

压强公式p=13nmvˉ2=23nεˉt(气体分子的平均平动动能)p=\frac{1}{3}nm\bar v^{2}=\frac{2}{3}n\bar \varepsilon_{t}(气体分子的平均平动动能)
温度公式 联动压强公式与 nkT 得到εˉt(气体分子的平均平动动能)=32kT\bar \varepsilon_{t}(气体分子的平均平动动能)=\frac{3}{2}kT
平方根速率 vˉ2=3RTμ\sqrt{\bar v^{2}}=\sqrt{\frac{3RT}{\mu}} 只和气体的种类以及绝对温度有关 气体分子质量越大 温度越低 平方根速率越小

气体分子速率vx2=vy2=vz2=13vˉ2v_{x}^{2}=v_{y}^{2}=v_{z}^{2}=\frac{1}{3}\bar v^{2} 同时联立温度公式可以得到三个方向上的平动动能是相等的——能量均分定理

平均能量 热力学能 自由度 单原子分子的自由度 i=3 双原子 i=5 多原子 i=6 平均能量为ikT2\frac{ikT}{2} 因为热力学能是动能与势能的总和 但是气体分子间的势能可以忽略 所以热力学能就等于平均能量乘上摩尔数

速率分布函数和速率分布律 dNN=f(v)dv\frac{dN}{N}=f(v)dv f(v)=dNNdvf(v)=\frac{dN}{Ndv} 表示速率为 v 附近单位速率区间内的分子个数站总分子数的比率 或者对单一分子而言在 v 附近速率区间的概率

麦克斯韦速率分布曲线
最概然速率vp=2kTmv_{p}=\sqrt{\frac{2kT}{m}} (图像上最高点横坐标) 讨论速率分布图像的时候使用
平均速率 计算式积分 v1 到 v2 vf(v)dv/f(v)dv 对所有分子来说 vˉ=8kTπm\bar v= \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} 讨论自由程的时候使用
方均跟速率3kTm\sqrt{\frac{3kT}{m}} 讨论分子平均能量的时候使用

一个分子与其他分子连续两次碰撞之间所走的路程的平均值称为平均自由程λˉ=vˉZˉ(碰撞频率)\bar \lambda=\frac{\bar{v}}{\bar{Z}(碰撞频率)} Zˉ=2πd2vˉn\bar{Z}=\sqrt{2}\pi d^{2}\bar{v}n 所以 λˉ=12πd2n=kT2πd2p\bar\lambda=\frac{1}{\sqrt 2 \pi d^{2}n}=\frac{kT}{\sqrt{2}\pi{d^{2}p}} d 是分子的有效直径

热力学

  • 热力学第一定律
    三个量Q,ΔE,WQ, \Delta E, W 公式 等体等压等温绝热过程的特点以及公式
  • 循环的效率
    做功还是制冷 画图来判断公式 只有卡诺循环可以用温度代替吸放热
  • 热力学第二定律-卡诺定理 是否是可逆过程
    不可逆循环过程的效率不可能大于卡诺循环的效率 可逆卡诺循环的效率相等(注意:符合热力学第一定律的过程可能不符合热力学第二定律-效率大于卡诺循环效率)
  • 过程中气体熵的增量

热容 比热容 摩尔热容
物体升高 1K 所吸收的热量 C=dQdTC=\frac{dQ}{dT} 单位质量的热容 c=CMc=\frac{C}{M} 1mod 物体升高 1K Cm=1νCC_{m}=\frac{1}{\nu}C

定体摩尔热容
CV,m=i2RC_{V,m}=\frac{i}{2}R 理想气体的热力学能公式E=MμCV,mTE=\frac{M}{\mu}C_{V,m}T
定压摩尔热容
Cp,m=i+22RC_{p,m}=\frac{i+2}{2}R
所以理想气体的定压和定体热容只和气体的自由度有关

  1. 对于等体过程(等容过程): Q=νCvΔTQ = \nu C_v\Delta T
  2. 对于等压过程(等压过程): Q=νCpΔTQ = \nu C_p\Delta T
  3. 对于等温过程(等温过程): Q=νRTln(VfVi)==νRTln(pipf)Q = \nu RT\ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)== \nu RT\ln\left(\frac{p_i}{p_f}\right)
  4. 对于绝热过程(绝热过程): Q=0Q = 0 W=ΔEW = -\Delta E 气体不从外界吸热 对外做功和内能的减少相等

    PVγ=常数PV^\gamma = \text{常数}

    Rγ1=CV,m=i2R\frac{R}{\gamma - 1} = C_{V,m} = \frac{i}{2}R

    实际解题过程中关注循环效率的话 Q更重要->ΔT\Delta T 重要 所以我们会用以下式子解出温度的变化

    Vγ1T=CV^{\gamma - 1}T = C

热力学第一定律
Q=ΔE+WQ=\Delta E + W
或者微分形式dQ=dE+dWdQ=dE+dW 系统从外界吸收的热量总共有两种用途 1 增加内能 2 对外做功

熵的增量:绝热过程熵增为 0

ΔS=νCvln(TfTi)+νRln(VfVi)\Delta S = \nu C_v \ln\left(\frac{T_f}{T_i}\right) + \nu R \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)