[速通笔记]2024春夏-微积分（甲）II

教师: 张泽银
TA: 陈浩鹏
内容：级数、偏导数、立体几何、多元函数、多重积分
助教是真爹！平时分基本给满，小测会调分，只有在三次小测时点名。作业交够即可（我最后一周上交了一个学期的作业 ━━(￣ー￣*|||━━
虽然自认为对于这部分微积分的内容理解没有十分透彻，但好在对于各种概念和题型比较熟悉。最后成绩真的出乎意料。

这个笔记纯属期末补天所用，基本上在一个星期里写成。（凑数。。。）下面是一些更加详实的笔记
https://noughtq.github.io/notebook/math/calculus/index.html

求某点的方向导数 求某点的偏导数 判断某点是否可微

方向导数

1. 方向导数的定义 在该点的梯度不好求的时候使用

   $$D_u f = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ah, y_0 + bh, z_0 + ch) - f(x_0, y_0, z_0)}{h}$$

2. 该点的梯度乘上方向向量（单位）

   $$D_u f = \nabla f \cdot u$$

偏导数（定义）

$$\frac{\partial f}{\partial x} (x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}$$

二阶偏导数

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x, y + \Delta y) - \frac{\partial f}{\partial x}(x, y)}{\Delta y}$$

可微（定义）

偏导数存在且连续

$$\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(x_0+h, y_0+k) - f(x_0, y_0) - \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)h - \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0$$

级数收敛的判别

1. 比值判别法（Ratio Test）：

2. 根值判别法（Root Test）：

3. 积分判别法（Integral Test）：

   $$\int_1^ f(x) , dx \quad \text{收敛或发散}$$

4. 正项级数判别法（Positive Series Test）：

   $$若级数的通项为非负数（即 (a_n \geq 0)），则以下情况之一成立时级数收敛：$$

• 级数的部分和有上界（$\text{即存在有限数} (S)，\text{使得对于所有正整数} (n)，有 (S_n \leq S)$）；
• 级数的部分和单调递增且有上界。

求幂级数的收敛半径

阿贝尔定理

空间曲线的切线/法线方程 切平面/法平面方程

切向量

• 如果是以参数形式给出的 直接用x, y, z对参数进行求导 即为切向量的三个分量
• 如果曲线方程是以方程组的形式给出的 可以转化为参数方程（直接对 x 求导）切向量为

  $$\{1,\frac,\frac\}$$

  此处两个导数可以用方程组确定的隐函数求导来得出
  

法向量

• 用曲线的方程分别对所有方向求偏导

方程（组）确定的隐函数求偏导

单个方程

方程组

• 分别对等式两边求导/偏导
• 分别对等式两边进行微分（全微分的一阶形式不变性）
• 最后解方程 可以用crammer法则

求曲线的方程

设所求曲线上的点的坐标$(x,y,z)$根据已有的曲线（投影/旋转）/ 方程（距离关系/垂直平行关系）列方程 所解出只含$x,y,z$ 的方程即为所求

隐函数求偏导数

对方程两边同时对同一变量求偏导 其他变量看作常数

偏导数自变量替换

替换后原来的变量变成了中间变量 根据公式展开
注意二阶偏导的时候依然要照此展开

判断二元函数在某一点是否可微

$\frac{\partial {f}}{\partial {x}}(a,b), \frac{\partial {f}}{\partial {y}}(a,b)$ 两个偏导数存在且连续

把函数展开成幂级数

1. 正弦函数的麦克劳林展开式： $\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

2. 余弦函数的麦克劳林展开式： $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

3. 指数函数的麦克劳林展开式： $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

4. 自然对数函数的麦克劳林展开式： $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}$

5. tan(x) 的麦克劳林展开式前两项： $\tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$

6. $\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$
   连续求导/积分 单独验证边界处是否绝对收敛

二重积分
四种基本类型 见笔记 x y 圆 分段 最重要的是画出草图 一定要注意是否需要分割 能否随便合并不同区域 积分就是考验基本功的流程了 一定要注意按照极坐标积分的时候只能优先确定角度 并且对 r 进行积分的时候要额外乘上一个 r
改变积分的顺序
利用二重积分的性质证明等式或者不等式
多元函数微分学
多元函数极限
恒等变形 整体代换加洛必达 无穷小替换
多阶偏导数
把另一个看成常数
有中间变量的抽象函数
用链式法则 同枝相乘 异枝相加
多元函数求全微分
用全微分的公式 分别求偏导再合起来
多元隐函数求偏导
用方程两边求导法 最后解出应求的偏导
多元函数求极值
一驻二判 AC-B^2 小大小大
求条件极值
构造拉格朗日函数 解方程求出驻点 带入即可

三重积分
利用投影法 先一后二 先找到$D_{xy}$的区域 然后用一条平行于 z 轴的射线从该区域穿过 范围就是 0 到最上面的面 然后先对 z 进行积分最后把积分式子代入对 xy 的二重积分 按照二重积分的方法进行正常计算
当被积函数只有一元的时候 可以先把另外两元依据条件方程 把他的面积求出来 利用先二后一 就相当于直接把另外两元的面积公式再乘上被积函数对该一元进行积分了 相当于进行平面截割
当被积区域是一个圆柱体/圆锥/旋转体的时候 利用柱面坐标（极坐标+一个方向的正常坐标）换元积分（注意极坐标要多乘上 r）
当被积区域是一个球体的时候 换元为球坐标系 zy 方向为$\phi$ xy 方向为$\theta$ 注意体积元要多乘上$r^{2}sin\phi$